求函数Z=2x^2-x（y+1）^2的极值,出现了AC=B^2的情况,之后应怎样继续判断

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求函数Z=2x^2-x（y+1）^2的极值,出现了AC=B^2的情况,之后应怎样继续判断

2022-08-06 17:49:09 17次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

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求函数Z=2x^2-x（y+1）^2的极值,出现了AC=B^2的情况,之后应怎样继续判断

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

首先各自变量的偏导为0,能求出z(x,y)的唯一驻点(0,-1)
计算在(0,-1)的Hesse矩阵,发现
A=∂²z/∂x²=4,B=∂²z/(∂x∂y)=-2(y+1)=0,C=∂²z/∂y²=-2x=0
H=AC-B²=0,极值判定失效,必须另行讨论.
注意到z(0,-1)=0,考察过(0,-1)的任意直线kx=y+1和直线x=0
z(x,y)=x²(2-k²x) (k∈R)
在x=0的充分小的邻域,2-k²x≥0恒成立!所以在(0,-1)充分小的邻域,z(x,y)≥0恒成立!
当x=0时,z(x,y)≡0!
所以z(x,y)在(0,-1)有极小值0.

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