令(k+6)^2=n+36=2^a*3^b.则k(k+12)=2^a*3^b.
令k=2^c*3^d,则2^c*3^d+2^2*3=2^e*3^f.
d=0时,若c<2,则无解.
若c>=2,
令p=c-2,s=e-2,t=f.
有2^p+3=2^s*3^t.(III)
s>=p时,则p=0,得s=2,t=0,n=2^6=64.
s<p时,则s=0,2^p+3=3^t.无解.
d>=1时,若c<2,
则令p=2-c>0,q=d-1>=0,s=e-c,t=f-1,有3^q+2^p=2^s*3^t
若p<=s,则p=0,(舍去)
若p>s,则s=0,3^q+2^p=3^t
若q<=t,则q=0,1+2^p=3^t,因为0<p<=2,故p=1,t=1,
c=1,d=1,k=2*3=6,n=2^2*3^3=108.
若d>=1 且c>=2
令p=c-2,q=d-1,s=e-2,t=f-1.
有2^p*3^q+1=2^s*3^t.
若s>=p,则1=2^p*(2^(s-p)*3^t-3^q).所以,p=0,
1=2^(s-p)*3^t-3^q.
若t>=q,则同理q=0,2^s*3^t=2,s=1,t=0.
k=2^2*3=12,n=2^5*3^2=288.
若t<q,则t=0,2^s-3^q=1,q>0
若s<p,则s=0.
若t>=q,则q=0,-2^p+3^t=1.t>=0
若t<q,则t=0,2^p*3^q+1=0,无解.
因此原问题转化为求解
2^s=3^q+1及2^p+1=3^t.
对于2^s=3^q+1,q>0(II)
s=2,q=1是其一解,
因此 n=2^6*3^3=1728
对于2^p+1=3^t,t>=0(I),p=1,t=1是解 n=2^5*3^3=864
p=3,t=2是解,n=2^7*3^4=10368.
可以证明t>2时,(I)无解;q>1时,(II)无解.
故n可为64,108,288,1728,864,10368.
证明t>2时,2^p+1=3^t无解;q>1时,2^s=3^q+1无解.
因为t>2,则9|2^p+1.而2^p+1=(3-1)^p+1=9w+p*(-1)^(p-1)*3+(-1)^p+1=9w+v.
若p为奇数,则v=3p-1+1=3p,解未定.
若p为偶数,则v=-3p+1+1,9!|v,故无解.
因为q>1时,s>2,2^s-1=(3-1)^s-1=9w+s*(-1)^(s-1)*3+(-1)^s-1=9w+v.9|2^s+1.
若s为奇数,则v=3p-1-1=3p-2,9!|v,故无解.
若s为偶数,则v=-3p+1-1=3p,解未定.
2^p+1=3^t(I),2^s-1=3^q(II)
若q<=t,则必有s<=p,则(2^s-1)|(2^p+1).
2^p+1除以2^s-1的余数为w=p%s,w<s,2^w+1=2^s-1.
得w=1,s=2.
经计算机验证(I),(II)在100之内无其它解.
