已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根．数列{bn}的前n项和为Tn，满足T

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已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根．数列{bn}的前n项和为Tn，满足T

2022-10-01 22:12:06 5次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根．数列{b_n}的前n项和为T_n，满足T_n=2-b_n（n∈N^）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，记c_n=（S_n-λ）•b_n（λ∈R，n∈N^）．若c₆为数列{c_n}中的最大项，求实数λ的取值范围．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（Ⅰ）∵a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根
∴a₂+a₅=12，a₂a₅=27，
∵d＞0，∴a₂=3，a₅=9，
∴d＝

a5−a2

＝2，a1＝1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
在已知T_n=2-b_n中，令n=1，得b₁=1
当n≥2时，T_n=2-b_n，T_n-1=2-b_n-1，两式相减得，b_n=b_n-1-b_n，
∴

bn−1

＝

(n≥2)，
∴bn＝(

)n−1(n∈N*)
（Ⅱ）∵Sn＝

n[1+(2n−1)]

＝n2，则cn＝(Sn−λ)•bn＝(n2−λ)•(

)n−1
当n≥2时，cn−cn−1＝(n2−λ)•(

)n−1−[(n−1)2−λ]•(

)n−2=

−n2+4n−2+λ

2n−1

∴c₆为数列{c_n}中的最大项，
∴有n≥7时，c_n-c_n-1≤0，
∴λ≤23，n≤6时，c_n-c_n-1≥0，
∴λ≥14
∴14≤λ≤23．

（Ⅰ）根据a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，可得a₂+a₅=12，a₂a₅=27，结合d＞0，可得数列{a_n}的通项公式；利用T_n=2-b_n，再写一式，两式相减，可得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据c_n=（S_n-λ）•b_n，确定表达式，利用c₆为数列{c_n}中的最大项，即可求实数λ的取值范围．

本题考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的单调性，确定数列的通项是关键．

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