已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）lna+b2．

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已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）lna+b2．

2022-02-13 08:37:06 61次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）ln
a+b
2
．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=lnx4−x．∴当x=2时，函数f（x）有最小值．a＞0，b＞0，不妨设a+b=4，则alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•a+b2ln（a+b2）=（a+b）lna+b2．∴alna+bln...

通过函数的导数，利用函数的最小值，然后证明：对a＞0，b＞0，都有alna+blnb≥（a+b）ln

a+b

；

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：本题考查函数的导数的应用，不等式的证明方法，考查转化思想的应用．

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已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）lna+b2．

题目内容：

已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）ln
a+b
2
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