已知函数f（x）满足：f（1）=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），则f（2015）=_____

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已知函数f（x）满足：f（1）=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），则f（2015）=______．

2022-11-20 13:00:31 11次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f（x）满足：f（1）=
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，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），则f（2015）=______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

令x=y=0，则4f2（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0或f（0）=12，若f（0）=0，则令y=0，有4f（x）f（0）=2f（x），即f（x）=0，这与f（1）＞0矛盾，∴f（0）=12，∵f（1）=14，令x=y=1，则4f2（1）=f（2）+f（0），∴f...

运用赋值法，令y=1，根据条件得到f（x）=f（x+1）+f（x-1），将x换为x+1，再把x换为x+1，得到f（x+3）=-f（x），把x换为x+3，得到f（x+6）=f（x），从而f（x）的周期为6，f（2015）=f（5）；根据条件再令x=y=0，求出f（0），令x=y=1，求出f（2），令x=2，y=1，求出f（3），令x=y=2，求出f（4），令x=4，y=1求出f（5）即可．

本题考点：抽象函数及其应用．

考点点评：本题主要考查函数的周期性和运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，注意充分运用条件，恰当赋值和赋式的运用．

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已知函数f（x）满足：f（1）=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），则f（2015）=______．

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已知函数f（x）满足：f（1）=
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，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），则f（2015）=______．

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