设a1=a2=1,an+1=an+an－1,n=2,3…令xn=an+1/an,证明数列xn收敛于1/2（1+√5）

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设a1=a2=1,an+1=an+an－1,n=2,3…令xn=an+1/an,证明数列xn收敛于1/2（1+√5）

2022-11-17 04:36:24 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设a1=a2=1,an+1=an+an－1,n=2,3…令xn=an+1/an,证明数列xn收敛于1/2（1+√5）

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

先构造等比数列：
令a+A*a=B*(a+A*a),得到a=(B-A)*a+A*B*a
因此B-A=1且A*B=1
任取一个A=-(√5+1)/2,B=-(√5-1)/2
则a-1/2(√5+1)*a=(-1/2(√5-1))^n (n>=1)
然后再构造一次等比数列：
令a+C*(-1/2(√5-1))^(n+1)=1/2(√5+1)*(a+C*(-1/2(√5-1))^n),解得C=1/√5
a=(1/√5)*[(1/2(√5+1))^n - (-1/2(√5-1))^n] (n>=1)
最后将x=a/a化简：
.
.
此处省略一万步,说多了都是泪.
.
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x=1/2(√5+1) + √5/{[(√5+1)/(1-√5)]^n-1}
由于丨(√5+1)/(1-√5)丨>1,当n无穷大时,后面一项趋近于0,因此x收敛于1/2(√5+1)

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设a1=a2=1,an+1=an+an－1,n=2,3…令xn=an+1/an,证明数列xn收敛于1/2（1+√5）

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设a1=a2=1,an+1=an+an－1,n=2,3…令xn=an+1/an,证明数列xn收敛于1/2（1+√5）

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