求解常微分方程,y"-y'=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )

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求解常微分方程,y"-y'=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )

2022-11-23 01:02:31 1次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

求解常微分方程,y"-y'=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

y''－y'=0的特征根是0和1,通解是y＝C1+C2e^x.
再求非齐次方程的一个特解.难就难在特解上了.
令g＝y',则g'－g=(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x)).
再令f＝e^(－x)g,则f'=e^(－x)(g'－g)=e^(－x)(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x)),
于是f＝不定积分（e^(－x)(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x))）dx 令e^(－x)=t
＝不定积分（(t^2－1)/(t^2+1)dt）=t－2arctant
＝e^(－x)－2arctane^(－x).
故g＝e^(x)f(x)=1－2e^xarctane^(－x).
y=不定积分（gdx）令e^(－x)=t
＝x+2不定积分（arctant/t^2dt）
=x－2不定积分（arctantd(1/t)）
＝x－2arctant/t+2不定积分（1/(t(1+t^2))dt）
=x－2e^xarctane^(－x)+2lnt－ln(1+t^2)
＝－x－2e^xarctane^(－x)－ln(1+e^(－2x)).
有了这些,通解就出来了.

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